分析標(biāo)準(zhǔn)砝碼的因式分解

如果天平兩端都允許放砝碼，并且假定所有的砝碼都是整數(shù)克。為了稱(chēng)出從 1 克到 40 克 所有整數(shù)克 的物品，zui少需要幾個(gè)砝碼？

感興趣的讀者不妨自己先試著想想，再往下看。

秘密在于 3 的冪
說(shuō)起來(lái)這個(gè)問(wèn)題歷史還算是挺悠久的。據(jù)《數(shù)學(xué)游戲與欣賞》（ [英] 勞斯·鮑爾 [加] 考克斯特 ，楊應(yīng)辰等 譯），這個(gè)問(wèn)題被稱(chēng)作巴協(xié) （Bachet） 砝碼問(wèn)題；而據(jù)《數(shù)學(xué)聊齋》（王樹(shù)禾），該問(wèn)題至少可追溯到 17 世紀(jì)法梅齊里亞克 （Meziriac, 1624） 。他們給出的答案是：

zui少需要 4 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)砝碼，規(guī)格分別為 1 克、3 克、9 克和 27 克。
例如，為了稱(chēng)出 2 克的物品，我們只需在天平端放 3 克砝碼，在另端放上 1 克的砝碼；而要稱(chēng)出 7 克的物品，則可以在端放上 1 克和 9 克的砝碼，另端放上 3 克的砝碼。

類(lèi)似地，要稱(chēng)出 1 克到 4 克中所有整數(shù)克的物品，只需要 2 個(gè)砝碼；要稱(chēng)出 1 克到 13 克中所有整數(shù)克的物品，則只需要 3 個(gè)砝碼；要稱(chēng)出 1 克到 121 克中所有整數(shù)克的物品則要 5 個(gè)砝碼，它們分別是 1 克、3 克、9 克、27 克和 81 克，如此等等。

也許有人已經(jīng)心領(lǐng)神會(huì)了，但是如果就此滿足而匆匆離去的話，可能就錯(cuò)失了個(gè)領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想的機(jī)會(huì)——問(wèn)題到這里并未結(jié)束啊！例如，4 個(gè)砝碼究竟是不是zui少的？還有沒(méi)有其他的組合？對(duì)這些疑問(wèn)的個(gè)*的分析和說(shuō)明，是 19 世紀(jì)由麥克馬洪 （MacMahon） 給出的。下面就來(lái)領(lǐng)略下其中的思想吧，或許你會(huì)從中學(xué)到很多。

標(biāo)準(zhǔn)砝碼因式分解的妙用
假設(shè)有個(gè)重為 a 克的砝碼，那么用它自然能夠稱(chēng)出 0 克和 a 克的物品。不過(guò)，如果虛設(shè)天平的某端為正的話，利用此天平和砝碼我們還能稱(chēng)出 - a 克的物品——不妨規(guī)定把 a 克砝碼放在天平右側(cè)，將物品放在天平左側(cè)，由此可以稱(chēng)出 a 克的物品；但若把 a 克砝碼放在天平左側(cè)，把物品放在天平右側(cè)，由此稱(chēng)出的物品重量記作 - a。目前這樣種設(shè)想有點(diǎn)怪異，但這實(shí)際上和人類(lèi)引入負(fù)數(shù)的思想是相同的。很快家便會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種設(shè)定非常精妙地簡(jiǎn)化了我們的計(jì)算和推導(dǎo)。現(xiàn)在暫且把該砝碼能夠稱(chēng)出的重量 - a，0，a 放個(gè)表達(dá)式中：

現(xiàn)在，假設(shè)有兩個(gè)不同規(guī)格的砝碼，分別重 a 克和 b 克（a

可以看到，它不是別的，正好是

的展開(kāi)式。

另外，假設(shè)有 m 個(gè)同樣重為 a 克的砝碼，則可以稱(chēng)出 - ma，- （m - 1）a，…，0，…，（m - 1）a，ma 克的物品。暫且按照上面的辦法，把這些數(shù)也塞個(gè)表達(dá)式中 ：

結(jié)合上面的分析，容易看出，如果有 m 個(gè) a 克的砝碼，n 個(gè) b 克的砝碼，等等，那么可以稱(chēng)出物品的克數(shù)就是表達(dá)式

展開(kāi)后出現(xiàn)過(guò)的那些 x 的冪數(shù)，而展開(kāi)式中 x 的 i 次項(xiàng)系數(shù)就表示用給定的這組砝碼稱(chēng)出 i 克物品的不同方法數(shù)。

如果要稱(chēng)出 1 到 40 中所有的整克數(shù)，并且要求所用的砝碼盡可能少，我們自然希望這些砝碼能夠“物盡其用”，稱(chēng)出的克數(shù)正好都是我們需要的克數(shù)，并且稱(chēng)的方法都是*的。也就是說(shuō)，上述表達(dá)式展開(kāi)后應(yīng)該恰好是

反過(guò)來(lái)，就是要把還原成的形式。對(duì)這個(gè)式子行分解，共有八種不同的方案：

前四個(gè)式子展示了我們實(shí)際上是如何對(duì)原式行逐步分解的。它們的意義依次為：（1） 40 個(gè) 1 克的砝碼；（2） 1 個(gè) 1 克，13 個(gè) 3 克的砝碼 ；（3） 1 個(gè) 1 克，1 個(gè) 3 克以及 4 個(gè) 9 克的砝碼；（4） 1 個(gè) 1 克，1 個(gè) 3 克，1 個(gè) 9 克以及 1 個(gè) 27 克的砝碼。其中，四個(gè)分解式是zui基本的，它就是我們想要的答案。

當(dāng)然我們還要說(shuō)明，除了上面列舉的 8 種組合之外沒(méi)有其他的組合。這是個(gè)多少有些復(fù)雜的討論，不過(guò)我們可以就此為止了，因?yàn)樯厦娴姆纸馐娇雌饋?lái)應(yīng)該明顯含了所有可能的分解。zui少的那組已經(jīng)明擺著了，無(wú)須再說(shuō)。家可以到 死理性派小組 參與更詳細(xì)的討論。

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